Se ve claramente que uno no puede, en general, calcular la desviación estándar de los rendimientos de un portafolio simplemente con tomar el promedio ponderado de las desviaciones estándar para los valores individuales. Más bien, la desviación estándar de una distribución de probabilidades de rendimientos posibles de un portafolio es
donde m es el número total de valores en el portafolio, AJ es la proporción del total de fondos invertidos en el valor j, Ak es la proporción invertida en el valor k y σjk es la covarianza entre los rendimientos posibles para los valores j y k. (En breve ilustraremos el término de covarianza.)
Los dos ∑s significan que podemos considerar las covarianzas para todas las combinaciones posibles en pares de los valores en el portafolio. Por ejemplo, supongamos que m es 4. La matriz de covarianzas para todas las posibles combinaciones en pares sería
La combinación en la esquina superior izquierda es 1, 1, lo que significa que j = k y que nuestra preocupación radica en la varianza (o variación) del valor 1. Es decir, σ1 σ1 = σ1al cuadrado en la ecuación (3-2) o la desviación estándar al cuadrado. Al rastrear por la diagonal, hay cuatro donde j = k y nos preocuparíamos por las varianzas en los cuatro casos. La segunda combinación en la fila 1 es σ1,2 lo que significa la covarianza entre rendimientos posibles para los valores 1 y 2. Sin embargo, observe que la primera combinación en la fila 2 es σ2,1 lo que significa la covarianza entre los valores 2 y l. En otras palabras, contamos las covarianzas entre los valores 1 y 2 dos veces. En forma similar, contamos dos veces las covarianzas entre todas las demás combinaciones que no se encuentran en la diagonal. Los dobles signos de suma en la ecuación (3-2) simplemente significan que sumamos todas las varianzas y covarianzas de la matriz de las posibles combinaciones en pares. En nuestra matriz es 16, representada por 4 varianzas y 6 covarianzas contadas dos veces.
La covarianza de los rendimientos posibles de dos valores es una medida del grado al que se espera van a variar juntas, en lugar de independientemente una de la otra. Para expresarlo de manera más formal, el término covarianza en la ecuación (3-2) es
donde rjk es la correlación esperada entre los rendimientos posibles para los valores j y k, O'j es la desviación estándar para el valor j, y O'k es la desviación estándar para el valor k. Se determinan las desviaciones estándar de las distribuciones de probabilidad de los rendimientos posibles para los valores j y k mediante los métodos que se señalaron en el capítulo anterior.
Cuando j = k en la ecuación (3-3), el coeficiente de correlación es 1.0, y σj σ k se convierte en σj al cuadrado. Es decir, nos preocupan sólo las varianzas propias de los valores a lo largo de la línea diagonal de la matriz.
La fórmula de la ecuación (3-2) señala un punto de mucha trascendencia. La desviación estándar de un portafolio depende no sólo de las varianzas de los valores individuales, sino de las covarianzas entre diversos pares. Al aumentar el número de valores en un portafolio, los términos de la covarianza se vuelven más importantes en relación con los términos de la varianza. Se puede observar esto al examinar la matriz. En un portafolio de dos valores, hay dos términos de varianzas propias a lo largo de la diagonal, σ 1, 1 Y σ 2, 2 Y dos términos de covarianza, σ1,2 Y σ 2,1. Para un portafolio de cuatro valores, hay 4 'términos de varianza propia y 12 términos de covarianza. De manera que, para un portafolio grande, la varianza total depende principalmente de las covarianzas entre los valores. Por ejemplo, con un portafolio de 30 valores, hay 30 términos de varianza propia en la matriz y 870 términos de covarianza. Al ampliarse más un portafolio para incluir todos los valores, sólo es importante la covarianza.
El valor de un coeficiente de correlación siempre está en los límites de -1 a + l. Un coeficiente de correlación de 1.00 indica que un aumento en el rendimiento de un valor siempre está asociado con un incremento proporcional en el rendimiento del otro valor, y en forma similar para las reducciones. Un coeficiente de correlación de -1.00 indica que un incremento en el rendimiento de un valor siempre está asociado con una reducción proporcional en el rendimiento del otro valor, y viceversa. Un coeficiente de cero indica una ausencia de correlación, de manera que los rendimientos de cada valor varían en forma independiente uno de otro. Sin embargo, la mayoría de los rendimientos de las acciones tienden a moverse juntos, de manera que el coeficiente de correlación entre dos acciones es positivo.
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| Ecuación 3-2 |
donde m es el número total de valores en el portafolio, AJ es la proporción del total de fondos invertidos en el valor j, Ak es la proporción invertida en el valor k y σjk es la covarianza entre los rendimientos posibles para los valores j y k. (En breve ilustraremos el término de covarianza.)
Los dos ∑s significan que podemos considerar las covarianzas para todas las combinaciones posibles en pares de los valores en el portafolio. Por ejemplo, supongamos que m es 4. La matriz de covarianzas para todas las posibles combinaciones en pares sería
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La combinación en la esquina superior izquierda es 1, 1, lo que significa que j = k y que nuestra preocupación radica en la varianza (o variación) del valor 1. Es decir, σ1 σ1 = σ1al cuadrado en la ecuación (3-2) o la desviación estándar al cuadrado. Al rastrear por la diagonal, hay cuatro donde j = k y nos preocuparíamos por las varianzas en los cuatro casos. La segunda combinación en la fila 1 es σ1,2 lo que significa la covarianza entre rendimientos posibles para los valores 1 y 2. Sin embargo, observe que la primera combinación en la fila 2 es σ2,1 lo que significa la covarianza entre los valores 2 y l. En otras palabras, contamos las covarianzas entre los valores 1 y 2 dos veces. En forma similar, contamos dos veces las covarianzas entre todas las demás combinaciones que no se encuentran en la diagonal. Los dobles signos de suma en la ecuación (3-2) simplemente significan que sumamos todas las varianzas y covarianzas de la matriz de las posibles combinaciones en pares. En nuestra matriz es 16, representada por 4 varianzas y 6 covarianzas contadas dos veces.
La covarianza de los rendimientos posibles de dos valores es una medida del grado al que se espera van a variar juntas, en lugar de independientemente una de la otra. Para expresarlo de manera más formal, el término covarianza en la ecuación (3-2) es
donde rjk es la correlación esperada entre los rendimientos posibles para los valores j y k, O'j es la desviación estándar para el valor j, y O'k es la desviación estándar para el valor k. Se determinan las desviaciones estándar de las distribuciones de probabilidad de los rendimientos posibles para los valores j y k mediante los métodos que se señalaron en el capítulo anterior.
Cuando j = k en la ecuación (3-3), el coeficiente de correlación es 1.0, y σj σ k se convierte en σj al cuadrado. Es decir, nos preocupan sólo las varianzas propias de los valores a lo largo de la línea diagonal de la matriz.
La fórmula de la ecuación (3-2) señala un punto de mucha trascendencia. La desviación estándar de un portafolio depende no sólo de las varianzas de los valores individuales, sino de las covarianzas entre diversos pares. Al aumentar el número de valores en un portafolio, los términos de la covarianza se vuelven más importantes en relación con los términos de la varianza. Se puede observar esto al examinar la matriz. En un portafolio de dos valores, hay dos términos de varianzas propias a lo largo de la diagonal, σ 1, 1 Y σ 2, 2 Y dos términos de covarianza, σ1,2 Y σ 2,1. Para un portafolio de cuatro valores, hay 4 'términos de varianza propia y 12 términos de covarianza. De manera que, para un portafolio grande, la varianza total depende principalmente de las covarianzas entre los valores. Por ejemplo, con un portafolio de 30 valores, hay 30 términos de varianza propia en la matriz y 870 términos de covarianza. Al ampliarse más un portafolio para incluir todos los valores, sólo es importante la covarianza.
El valor de un coeficiente de correlación siempre está en los límites de -1 a + l. Un coeficiente de correlación de 1.00 indica que un aumento en el rendimiento de un valor siempre está asociado con un incremento proporcional en el rendimiento del otro valor, y en forma similar para las reducciones. Un coeficiente de correlación de -1.00 indica que un incremento en el rendimiento de un valor siempre está asociado con una reducción proporcional en el rendimiento del otro valor, y viceversa. Un coeficiente de cero indica una ausencia de correlación, de manera que los rendimientos de cada valor varían en forma independiente uno de otro. Sin embargo, la mayoría de los rendimientos de las acciones tienden a moverse juntos, de manera que el coeficiente de correlación entre dos acciones es positivo.
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