INTERÉS COMPUESTO Y VALORES FINALES O FUTUROS

La idea del interés compuesto es fundamental para la comprensión de las matemáticas financieras. El término en sí implica simplemente que el interés que se paga sobre un préstamo o una inversión se agrega al principal. Como resultado, se obtienen intereses sobre el interés. Se puede utilizar este concepto para resolver cierta clase de problemas que se ilustran en los siguientes ejemplos. Para comenzar, consideremos a una persona que tiene $100 en una cuenta. Si la tasa de interés es de 8 % compuesto anual, ¿cuánto valdrán los $100 al final de un año? Al establecer el problema, resolvemos el valor final (o valor futuro, como también se denomina) de la cuenta al final del año (TV1)

TV1 = $100(1 + .08) = $108

En una inversión de 2 años, la inversión inicial de $100 se convertirá en $108 al final del primer año al 8% de interés. Al final del segundo año, los $108 se convierten en $116.64, puesto que se agregan los $8 en intereses que se han obtenido sobre los $100 iniciales, y $0.64 se ganan sobre el interés de $8 que se paga al final del primer año. En otras palabras, se ganan intereses sobre un interés que ya se había ganado, por esto se designa como interés compuesto. El valor final o futuro del segundo año es de $100 por 1.08 al cuadrado o 1.1664. En esta forma tenemos

TV2 = $100(1.08)2 = $116.64

Al final del tercer año, la persona tendría

TV3 = $100(1 + .08)3 = $125.97

Viéndolo de manera diferente, los $100 se incrementan a $108 al final del primer año si la tasa de interés es 8%, y cuando multiplicamos esta cantidad por 1.08 obtenemos $116.64 al final del segundo año. Al multiplicar $116.64 por 1.08 obtenemos $125.97 al final del tercer año.

De manera similar, al final de n años el valor final es

TVn = X0 (1+r)n

donde Xo = cantidad invertida al principio

r= tasa de interés


La tabla 2-1, que muestra los valores finales o futuros para nuestro problema ejemplo al final de los años 1 al 10, ilustra el concepto de intereses que se ganan sobre el interés. La ecuación (2-1) es nuestra fórmula fundamental para calcular los valores finales. Es obvio que mientras mayor sea la tasa de interés r y mayor el número de periodos n, mayor será el valor final o futuro.

Aunque nuestra preocupación ha sido con las tasas de interés, el concepto involucrado se aplica a un crecimiento compuesto de cualquier tipo. Supongamos que las ganancias de una compañía son $100 000, pero esperamos que crezcan a una tasa compuesta de 10%. Al final de los años 1 al 5 serán como sigue:

De manera similar, podernos determinar el nivel al final de tantos años para otros problemas que involucran el crecimiento compuesto. El principio es especialmente importante cuando considerarnos ciertos modelos de valuación para las acciones comunes, corno veremos posteriormente en este capítulo.

TABLAS DE VALORES FINALES O FUTUROS

Usando la ecuación (2-1) podremos derivar tablas de valores finales (también conocidos corno valores futuros). La tabla 2-2 es un ejemplo que muestra tasas de interés de 1 % a 15%. En la columna de 8 %, observamos que los valores finales o futuros que se muestran por cada $1

invertido a esta tasa compuesta corresponden a nuestros cálculos de $100 en la tabla 2-1. Observemos también que en los renglones que tabulan dos o más años, el incremento proporcional en el valor final se vuelve mayor conforme aumenta la tasa de interés. Este incremento en el crecimiento es impresionante cuando vemos de aquí a un siglo. Un dólar invertido hoy valdrá sólo $2.70 si la tasa de interés es 1 %, pero engordará hasta alcanzar $1 174 313 si la tasa de interés es 15%. He aquí (o deje que sus herederos vean) las maravillas del interés compuesto.