Hasta ahora, hemos supuesto que se paga anualmente el interés. Aunque esta suposición es la más fácil para trabajar, consideremos ahora la relación entre el valor final y las tasas de interés para diferentes periodos del interés compuesto. Para comenzar, supongamos que el interés se paga semestralmente y se depositan $100 en una cuenta a 8%. Esto significa que durante los primeros seis meses el rendimiento es la mitad de 8%, o sea 4%. De manera que el valor futuro al final de los seis meses será
y al final de uh año será
Esta cal1tidad se compara con $108.00 si se pagara el interés solamente una vez al año. La diferencia de $0.16 se puede atribuir al hecho de que durante el segundo semestre, se gana interés sobre los $4.00 de interés que se pagó al final del primer semestre. Mientras más veces se pague ese interés durante un año, mayor será el valor futuro al final de un año determinado.
La fórmula general para obtener el valor futuro al final del año n, donde se paga interés m veces por año es
Para aclarar lo anterior, supongamos que en nuestro ejemplo se pagaban los intereses trimestralmente y que deseábamos saber de nuevo el valor futuro al final de un año. Sería
que, desde luego, es mayor que lo que hubiera sido con un interés compuesto semestral o anual.
El valor futuro al final de tres años para el ejemplo con pagos trimestrales de intereses es
en comparación con un valor final con un interés compuesto semestral de
y un interés compuesto anual de
Entre mayor sea el número de años, mayor será la diferencia en los valores finales de acuerdo con los dos métodos diferentes de calcular el interés compuesto.
Al acercarse m al infinito, el término
donde e se aproxima a 2.71828 y se define como
donde ∞ es el signo de infinito. Para confirmar que e se acerca a 2.71828 conforme aumenta
m, simplemente aumente m en la expresión anterior de, digamos, 5 a lOa 100 y despeje e. El valor futuro al final de n años de un depósito inicial de Xo donde el interés es compuesto continuamente a una tasa de r es
Para el problema en nuestro ejemplo, el valor final al final de tres años sería
Esto se compara con los valores finales con intereses compuestos anuales, semestrales, trimestrales y mensuales de $125.97, $126.53, $126.82 y $127.02, respectivamente. De manera que los intereses compuestos continuos resultan en el valor futuro máximo posible al final de n periodos para una tasa determinada de interés. Al incrementarse m en la ecuación (2-2), el valor futuro aumenta a una tasa decreciente hasta que al final se acerca al alcanzado con los intereses compuestos continuos.
y al final de uh año será
Esta cal1tidad se compara con $108.00 si se pagara el interés solamente una vez al año. La diferencia de $0.16 se puede atribuir al hecho de que durante el segundo semestre, se gana interés sobre los $4.00 de interés que se pagó al final del primer semestre. Mientras más veces se pague ese interés durante un año, mayor será el valor futuro al final de un año determinado.
La fórmula general para obtener el valor futuro al final del año n, donde se paga interés m veces por año es
Para aclarar lo anterior, supongamos que en nuestro ejemplo se pagaban los intereses trimestralmente y que deseábamos saber de nuevo el valor futuro al final de un año. Sería
que, desde luego, es mayor que lo que hubiera sido con un interés compuesto semestral o anual.
El valor futuro al final de tres años para el ejemplo con pagos trimestrales de intereses es
en comparación con un valor final con un interés compuesto semestral de
y un interés compuesto anual de
Entre mayor sea el número de años, mayor será la diferencia en los valores finales de acuerdo con los dos métodos diferentes de calcular el interés compuesto.
Al acercarse m al infinito, el término
donde e se aproxima a 2.71828 y se define comodonde ∞ es el signo de infinito. Para confirmar que e se acerca a 2.71828 conforme aumenta
m, simplemente aumente m en la expresión anterior de, digamos, 5 a lOa 100 y despeje e. El valor futuro al final de n años de un depósito inicial de Xo donde el interés es compuesto continuamente a una tasa de r es
Para el problema en nuestro ejemplo, el valor final al final de tres años sería
Esto se compara con los valores finales con intereses compuestos anuales, semestrales, trimestrales y mensuales de $125.97, $126.53, $126.82 y $127.02, respectivamente. De manera que los intereses compuestos continuos resultan en el valor futuro máximo posible al final de n periodos para una tasa determinada de interés. Al incrementarse m en la ecuación (2-2), el valor futuro aumenta a una tasa decreciente hasta que al final se acerca al alcanzado con los intereses compuestos continuos.
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